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El siguiente cuadro muestra una parte reducida de la familia Bernoulli (nótese que como en las dinastías reales y papales, se suele usar números romanos para distinguir a aquellos miembros de la familia que tienen el mismo nombre y que destacaron como matemáticos):

Jacob 'el viejo' era oriundo de Amberes, ciudad que actualmente pertenece a Bélgica y que en aquella epoca pertenecía a los Países Bajos Españoles, pero abandonó estas tierras y se trasladó a Basilea (Suiza) huyendo de la persecución religiosa a que fueron sometidos los hugonotes, protestantes de doctrina calvinista.

Jacob Bernoulli (que en el cuadro anterior aparece como Jacob I) es, en sentido cronológico, el primer matemático de relevancia de la familia Bernoulli, que incluye otros grandes matemáticos como su hermado Johann (Johann I), los hijos de este último, Nicolau II y Daniel o el sobrino de Jacob (hijo de su hermano Nicolau), conocido dentro de la saga familiar como Nicolau I.
Jacob I, en contra de las indicaciones de su padre, que hubiera querido que fuera pastor de la iglesia, se dedicó a estudiar matemáticas de forma autodidacta, y en su juventud recorrió Europa tratando de completar su formación, mientras se ganaba la vida dando clases particulares. Él fue quien sembró la semilla de las matemáticas en esta familia, y a su sombra y con su apoyo inicial, otros miembros como su hermano Johann o su sobrino Nicolau I se introdujeron también en este mundo.
En 1687 fue nombrado catedrático de matemáticas en la universidad de Basilea, cargo que ostentó hasta su fallecimiento en 1705. Su hermano Johann le sucedió en el cargo y durante un total de 105 años hubo un miembro de la familia Bernoulli en la cátedra de matemáticas de esta universidad.
Tan legendaria como la grandeza matemática de esta saga familiar es la pésima relación personal que tuvieron entre varios de ellos, sin ir más lejos entre los hermanos Jacob y Johann, o entre éste y su hijo Daniel, donde las disputas sobre la supremacía en resolver problemas matemáticos estaba muy por encima de la siempre conveniente armonia en las relaciones familiares.
Jacob estudió la noción de probabilidad en matemáticas, a su muerte, su sobrino Nicolau I, con el que Jacob se sentía muy unido, recopiló las notas de su tío sobre este concepto y publicó una obra titulada Ars Conjectandi, que tuvo un papel seminal en esta rama de las matemáticas. Además, de igual manera que hiciera su hermano Johann, exploró y resolvió muchos problemas con las nuevas herramientas del cálculo matemático -cálculo diferencial e integral- que había sido descubierto poco tiempo atrás por Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716) de forma independiente. Por cierto, Leibniz había denominado 'calculus summatorius' a lo que hoy en día conocemos como cálculo integral; la terminología actual se la debemos precisamente al propio Jacob que la propuso en 1691.
En el seno de estos estudios tuvo fascinación por una curva que hoy llamamos Espiral Logarítimica, y que él denominaba Spira Mirabilis debido a las asombrosas propiedades matemáticas que presentaba, según las cuales dicha curva volvía a aparecer, cual ave Fénix, tras ser sometida a multitud de transformaciones matemáticas; y esto es justamente el significado de su epitafio: resurjo y me quedo igual ante cualquier mutación: Eadem Mutata Resurgo.

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Leonhard Euler (1707-1783) fue el matemático más sobresaliente del S.XVIII, y el más prolífico de toda la historia. Hijo de un pastor protestante (calvinista) de modesto origen, nació en Basilea en 1707. Se desconoce el lugar exacto de su nacimiento, pero probablemente fuera en el centro de la ciudad, cerca de la iglesia de San Martin (Martinkirche) en la que fue bautizado dos días después de nacer. En aquella época su padre era vicario en la iglesia de San Jacob que quedaba en las afueras de la ciudad, aunque no vivían allá, al no disponer esta iglesia de vicaría. Al año de nacer Euler, la familia se trasladó a Riehen, pequeña población cercana a Basilea, que hoy en día es un barrio de ésta, situada en una lengua de tierra suiza rodeada por Alemania. Allí pasó su infancia. Estudió, de acuerdo con los deseos paternos, teología, pero al mismo tiempo le atraían las matemáticas, y fue una verdadera fortuna que coincidiera en Basilea con Johann Bernoulli, quien había regresado de Groningen (Holanda) a Basilea en 1705, a la muerte de su hermano Jacob, para sucederle en la cátedra de matemáticas de la universidad de Basilea. Fue alumno de Johann Bernoulli (Johann I), alumno no en el sentido habitual de la palabra, sino reflejando que tenía acceso a él los fines de semana y podía consultarle las dudas que le surgían en sus propios estudios matemáticos. Johann, que por aquella época probablemente era el matemático en activo más importante del mundo, enseguida reconoció el genio de Euler. Se le atribuye la frase dirigida a su discípulo: Yo represento el análisis superior como si estuviera en su infancia, pero tú lo estás llevando a su estado adulto. También trabó amistad con Daniel Bernoulli (1700-1782), el hijo de Johann, que era 7 años mayor que Euler. Precisamente gracias a la ayuda y recomendación de Daniel, consiguió en 1727 una plaza en la recién fundada academia de Ciencias de San Petersburgo de la que Daniel era miembro. Tras una larga estancia en aquella ciudad, cuando las condiciones en Rusia se volvieron incómodas y peligrosas para los extranjeros, se trasladó a Berlín, en cuya academia de Ciencias estuvo durante 25 años, para regresar de nuevo a San Petersburgo, donde residió hasta su muerte, acaecida en 1783. Está enterrado en esta ciudad en el monasterio de Alejandro Nevski. Se cita con frecuencia que Euler calculaba como si respirara, sin esfuerzo alguno. Lo cierto es que no hay rama de la matemática en la que no haya dejado una profunda huella. Su infuencia en los matemáticos posteriores también fue enorme gracias a los manuales didácticos que escribió. Tuvo serios problemas de visión que fueron agravándose a lo largo de su vida, hasta llegar a quedarse completamente ciego. Los últimos años de su vida los pasó en esta condición, aunque esto no le impidió trabajar sin descanso generando continuas aportaciones matemáticas.
El matemático francés Pierre Simon Laplace (1749-1827), reconoció este papel nuclear de Euler con su sentencia: Lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros.

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No puedo acabar la etapa de Basilea sin hablar del Problema de Basilea que es como se conoce en la historia de las matemáticas a la siguiente cuestión que paso ahora a explicar con cierto detalle:
¿Cuál es el resultado de sumar 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + .... ? (Con los puntos suspensivos indicamos que la suma tiene infinitos sumandos. Por cierto en matemáticas a este tipo de sumas se las denomina series).
Jacob Bernoulli creía que el resultado sería un número finito dado que cada nuevo sumando que se añade es paulatinamente más pequeño y próximo a cero. Sin embargo estaba equivocado, y fue él mismo quien descubrió, para su asombro y perplejidad, que la suma indicada crece sin límite, es infinita. Decimos descubrió, pero más correcto sería decir redescubrió, ya que en realidad Nicolas de Oresme (1320 - 1382) en el S.XIV había ya probado este resultado, pero Jacob y la comunidad matemática de su época no conocían este hecho.
El caso es que tras hallar resolución a esta serie, se planteó dar solución también a otra similar: 1 + 1/2² + 1/3² + 1/4² + ....
Jacob dedicó grandes esfuerzos a desentrañar el resultado de esta serie, su hermano Johann también lidió con ella, pero sus esfuerzos fueron en vano. Finalmente decidieron pedir ayuda a la comunidad matemática de la época, y es por esto que esta cuestión pasó a conocerse con el nombre de Problema de Basilea.
En 1735 L. Euler logró resolver el problema al demostrar, de forma muy ingeniosa, que el resultado de esta suma de infinitos sumandos es: π²/6. Además, colateralmente logró generalizar la solución a muchas otras series similares.
Cuando Johann Bernoulli conoció este hecho, pensó en su hermando Jacob, que había fallecido 30 años antes, y a pesar de la difícil relación que tuvieron en los últimos años de la vida de Jacob, Johann manifestó cuanto hubiera deseado que mi hermano estuviera vivo para conocer este resultado.

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Carl Gauss (1777 - 1855) nació en 1777 en Braunschweig, población del norte de la actual Alemania y que en aquella época, previa a la unificación alemana, era la capital del ducado del mismo nombre. Provenía de una familia humilde y laboriosa. Ya desde pequeño dio muestras de su talento para las matemáticas; es muy conocida la anécdota de que cuando tenía 10 años, resolvió el problema de sumar todos los números naturales desde el 1 hasta el 100 de forma inmediata, privando así a su maestro de entonces del amplio periodo de descanso que había previsto cuando mandó este ejercicio a toda la clase. Ésta y otras muestras de inteligencia e ingenio para las matemáticas llegaron a conocimiento del duque de Brauwschweig, Carl Wilhelm Ferdinand (1735-1806), quien se convirtió en su mecenas y le apoyó financieramente para que prosiguiera sus estudios. Tras la etapa en el Collegium Carolinium de Braunschweig, en 1796, cuando tenía 19 años hizo uno de sus descubrimientos matemáticos de los que se sintió más orgulloso: demostró que el polígono regular de 17 lados, el heptadecágono regular, podía construirse con regla y compás, siguiendo los patrones de construcción de los antiguos griegos. Este descubrimiento, que constituía el primer avance en esta materia en 2000 años le marcó tan profundamente que a su muerte pidió que en su tumba dibujaran este polígono a modo de epitafio.
Sus estudios universitarios los realizó en Göttingen y Helmsted. En 1801 utilizando lápiz y papel, mediante la utilización de una herramienta denominada ajuste por mínimos cuadrados, consiguió redescubir en el cielo el asteroide Ceres que había sido observado poco antes, pero cuyo rastro se había perdido al poco de descubrirse. Esto le proporcionó fama mundial y le convirtió en el Príncipe de las Matemáticas como fue conocido en vida. Aunque recibió ofertas para trabajar en muchos otros sitios, decidió quedarse en Göttingen, donde fue director del observatorio astronómico construido como parte de la oferta que se le hizo para que permaneciera en esta universidad.
Consideró la Teoría de Números como la reina de las matemáticas, precisamente su obra Disquisiciones aritméticas puede considerarse el germen de esta rama de las matemáticas tal como se concibe en la actualidad. Importantes son también sus contribuciones en geometría de superficies. Anticipó -aunque sin publicarlo- la existencia de geometrías no euclídeas y tal vez a nivel de conciencia colectiva, la asociación más conocida entre Gauss y las matemáticas tenga que ver con la denominada campana de Gauss, que es como se suele designar la figura de una distribución normal de probabilidad.
Se casó 2 veces y tuvo 6 hijos. Murió en Göttingen en 1855, tras una larga y fructífera carrera, donde además de las matemáticas, dedicó buena parte de su tiempo a estudios en física, en colaboración con el profesor W. Weber y geodesia y astronomía. Está enterrado en Göttingen en el minúsculo cementerio de Albani. En su tumba no hay ninguna imagen de un polígono de 17 lados, al parecer el cantero al que se le encargó la obra no lo hizo alegando que era muy difícil y que no se distinguiría de un círculo, por lo que finalmente no se cumplió su última voluntad.

Wilhelm Weber (1804-1891) fue un físico que tras formarse en la universidad de Halle, pasó a la universidad de Göttingen. Tuvo otros dos hermanos también científicos de relevancia con los que realizó conjuntamente diversos estudios. Fue asiduo colaborador de Gauss en temas relacionados con el electromagnetismo; en particular fruto de esta colaboración se creó el primer telégrafo del mundo en 1833 que unía el laboratorio astronómico de Gauss con el laboratorio de física donde trabajaba Weber.
En 1837 formó parte del grupo de 7 profesores de la universidad, 'Los Siete de Göttingen' que fueron obligados a salir de ella por motivos políticos, y tras unos años donde estuvo residiendo en diversos paises, finalmente recaló como profesor de la universidad de Leipzig, donde estuvo entre 1843 y 1849. Tras esta etapa, pudo regresar a Göttingen, de donde ya no se movería. Es precisamente en este momento en que volvió a Göttingen, cuando entró en contacto con B. Riemann, del que fue profesor. En esta labor Weber influyó notablemente en Riemann; en efecto, puede afirmarse que buena parte de la obra matemática de B. Riemann está muy ligada y muy influenciada por la física. De hecho, durante un tiempo B. Riemann desempeño la labor de ayudante del profesor Weber en las prácticas del laboratorio de física.
A la muerte de Gauss, fue W. Weber quien le sucedió como director del observatorio astronómico.

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David Hilbert nació en Königsberg en 1862. Esta ciudad entonces pertenecía a Prusia (Alemania) y actualmente forma parte de Rusia, aunque está separada físicamente de la parte principal de este pais, y se llama Kaliningrado. Estudió y fue profesor en su ciudad natal hasta el año 1895, en que con la intermediación de Felix Klein (1849-1925) pasó a ser profesor de matemáticas en Göttingen, de donde ya no se movería el resto de su vida. Su obra es amplísima, tocó a lo largo de su vida las más variadas partes de la matemática, y tuvo una gran influencia sobre su desarrollo futuro. Por citar alguna de sus contribuciones: concibió la idea de un espacio vectorial infinito-dimensional, hoy en día denominado Espacio de Hilbert, que constituye la base matemática de la mecánica cuántica, teoría física que explica el comportamiento del mundo a nivel atómico y subatómico. Su famoso libro Grundlagen der Geometrie, publicado en 1899 coincidiendo y motivado por la inauguración del monumento a Gauss y Weber (Gauss-Weber denkmal) sirvió para actualizar, de acuerdo con la concepción moderna de las matemáticas, el enfoque axiomático de la geometría que elaborara Euclides en sus Elementos más de 2000 años atrás.
Destacable y muy conocida es también su intervención en el segundo congreso internacional de matemáticas que tuvo lugar en París en el año 1900. En esta intervención propuso una lista de 23 problemas pendientes de solución y que -en su opinión- los esfuerzos para su resolución contribuirían decididamente al progreso de las matemáticas del S.XX. Actualmente la mayoría de problemas de esta lista se ha resuelto, pero no todos; entre los que están pendientes está el octavo de la lista que no es otro que la hipótesis de Riemann, problema relacionado con la distribución de números primos. Cabe señalar en este punto que en el año 2000, el instituto Clay de matemáticas, lanzó a la comunidad matemática internacional una nueva lista de problemas, 7 en este caso, con la misma intención: servir de guía y estímulo para el progreso de las matemáticas en el S.XXI; de estos 7 problemas, sólo uno de ellos estaba en la lista original de Hilbert, y no es otro que la ya referida hipótesis de Riemann. Del resto, a estas alturas de siglo ya hay uno que se ha conseguido resolver, el relacionado con la conjetura de Poincaré, una hipótesis que planteó este matemático francés, concerniente a una rama de las matemáticas, llamada Topología. El matemático que lo ha resuelto se llama Grigori Perelman, es ruso, vive en San Petersburgo y hace años que decidió retirarse de la vida académica y vivir casi en la indigencia. Rechazó el premio económico que le correspondía por haber solucionado este problema y otros honores como la concesión de la medalla Fields (el galardón matemático más importante, que a menudo se denomina el Nobel de las matemáticas) en el año 2006, en una ceremonia que tuvo lugar en Madrid.